Limit Fungsi

Sekarang saya akan mengulas tentang Limit , mumpung masih segar diingatan. Teman-teman semua pasti sering mendengar kata “unlimited” yang artinya “tanpa batas” kan ?!, Nah kalo Limit adalah lawan dari “unlimited ” tadi yang berarti “batas”. Untuk penjelasan secara matematisnya silahkan baca halaman ini …

Definisi limit dinyatakan sebagai berikut: untuk suatu fungsi f(x) diandaikan sebuah peubah bebas x diasumsikan mempunyai nilai tertentu yang mendekati a, maka fungsi f(x) dapat dianggap berhubungan dengan suatu himpunan nilai. Seandainya pada saat x mendekati a, nilai yang sesuai bagi f(x) mendekati suatu konstanta A, dan seandainya pula bahwa nilai f(x) dapat dijadikan berbeda sedikit secara arbiter dari A dengan mengambil nilai x yang mendekati a, tetapi tidak sama dengan a, maka hal ini benar untuk semua nilai x. dan artinya f(x) dikatakan sebagai suatu konsep pendekatan dari a atau limit a jika x mendekati a.
Secara singkat definisi limit dari suatu peubah atau limit dari suatu fungsi adalah: Suatu peubah x dikatakan mendekati bilangan konstanta merupakan limit, apabila x berubah-ubah sedemikian rupa sehingga selisih absolute (x - a), terjadi dan tetap lebih kecil daripada jumlah positif yang ditentukan lebih dahulu, tetapi nilai yang lebih kecil akan dipilih, hal ini ditunjukkan oleh limit x dimana x mendekati a

Ada beberapa operasi Limit yaitu :
1. Limit Penjumlahan dan pengurangan
2. Limit Perkalian
3. Limit Perkalian Konstanta dengan Fungsi
4. Limit Fungsi yang Dipangkatkan
5. Limit Fungsi yang Berada dalam Tanda Akar

Jenis Limit :

Limit Fungsi Pecah
Untuk mencari solusi dari limit fungsi pecah, pada prinsipnya adalah sama dengan menentukan nilai pada limit fungsi biasa, yaitu melakukan substitusi harga x terhadap variabel x yang ada pada fungsi pecahnya. Jika setelah disubstitusi ternyata hasilnya riil (nyata), maka nilai tersebut adalah merupakan hasil akhirnya, namun demikian apabila setelah disubstitusikan hasilnya terjadi pembagian dengan proses penyelesaian pada limit fungsi lainnya. Hal ini lebih disebabkan karena adanya ketentuan yang tidak membolehkan terjadinya pembagian dengan nol.

Untuk mendapatkan penyelesaian akhir atau cara menyelesaikan model limit fungsi (setelah dilakukan substitusi harga x terhadap fungsinya dan terjadi pembagian dengan nol), perhatikan fungsi pembilang dan penyebutnya, tentukan derivatif (turunan) dan fungsi pembilang dan penyebutnya terhadap x, kemudian substitusikan harga x yang didekati terhadap fungsi-fungsi derivatif dari pembilang dan penyebutnya, apabila harga x yang didekati setelah disubstitusikan terhadap fungsi derivatif pembilang dan penyebutnya masih juga terjadi pembagian dengan nol, maka hasilnya adalah merupakan harga yang infinite (sebagai hasil akhir).
Contoh:
(_x→1^(lim)((〖3x〗^2+4x-8))/((5x-5))=((〖3(1)〗^2+4(1)-8))/((5(1)+3))=-1/0 (infinite)
Oleh karena setelah dilakukan substitusi terhadap harga x yang didekati terjadi pembagian dengan nol, maka langkah berikutnya adalah menentukan derivatif dari fungsi pembilang dan fungsi penyebutnya, sebagai berikut:
(_x→1^(lim)) ((〖3x〗^2+4x-8))/((5x-5))=(_x→1^(lim))((6x+4))/((5))=((6(1)+4))/5=10/2=5

Limit Tak Hingga (Limit Infinite)
Suatu limit dikatakan limit tak hingga (limit infinite) jika di depan tanda limitnya mmerupakan fungsi pecah dan x didekati oleh bilangan tak terhingga.
Untuk menyelesaikan model limit infinite ini, perhatikan pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi pembilang dan pangkat (derajat) dari fungsi penyebutnya, kemudian bagilah dengan pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi penyebutnya. Ada berbagai model dari limit fungsi infinite seperti:

Pangkat fungsi pembilang sama dengan (=) pangkat fungsi penyebut
Jika pangkat (derajat) dari fungsi pembilang sama dengan pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka penyelesaian dari limit fungsi tersebut adalah merupakan hasil bagi antara koefisien pangkat tertinggi dari fungsi pembilang dan pangkat tertinggi fungsi penyebutnya, adapun langkah penyelesaian kasus tersebut, seperti pada contoh di bawah ini.
(_x→∞^lim ) ((〖16x〗^2+4))/((〖15x〗^2-10x) )=16/15
Keterangan:
Pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat teringgi penyebutnya, yaitu = 2, maka solusinya adalah hasil bagi koefisien dari pembilang dan penyebut yang mempunyai pangkat tertinggi (16/15=1 1/15).

Pangkat fungsi pembilang lebih besar (>) pangkat fungsi penyebut
Jika pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka penyelesaian dari limit fungsi tersebut bernilai infinite seperti pada contoh di bawah ini:
(_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^3+〖4x〗^2-3x))/((〖15x〗^2-10x) )
Untuk menentukan solusi dari limit fungsi pecah secara langsung, dapat dilakukan seperti berikut:
(_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^4+4))/((〖15x〗^2-10) )=∞
Pangkat tertinggi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya (pembilang berpangkat tertinggi 4 sedangkan penyebut berpangkat tertinggi 2), maka solusinya adalah merupakan nilai ~ (tak terhingga)

pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka solusi dari limit tersebut bernilai 0 (nol) seperti pada contoh berikut ini. (_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^4+4))/((〖15x〗^6-10) )=0
Keterangan: Pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebutnya (pembilang berpangkat tertinggi 4 sedangkan penyebut berpangkat tertinggi 6), maka solusinya adalah merupakan nilai 0 (nol)

Kontinuitas
Suatu fungsi disebut kontinyu apabila grafiknya terdiri dari kurva yang tidak terputus-putus; defenisi secara matematis mengenai kontinyuitas menyangkut ciri atau sifat yang dimiliki dari limit. Tipe atau jenis kontinuitas akan dibahas kemudian akan diberikan sifat-sifat atau aturan-aturan untuk mengetahui fungsi yang kontinyu. Di dalam defenisi (_x→a^(lim))f(x), nilai (f(x) untuk x = a tak terspesifikasikan, artinya limit ini hanya tergantung pada nilai f(x) dimana x disekitar atau dekat sekali dengan a akan tetapi bukan pada nilai f(x) di mana x = a. Jadi (_x→a^(lim))f(x) mungkin sama atau mungkin tidak sama dengan f(a). Kalau (_x→a^(lim))f(x) ada dan nilai f (a) juga ada dan ternyata sama nilainya, maka kemudian f (x) dikatakan kontinyu pada x = a. suatu fungsi f (x) dikatakan kontinyu pada x = a, kalau memenuhi syarat berikut. f (a) terdefenisi (_x→a^(lim))f(x) ada nilainya (_x→a^(lim))f(x)=f(a) Catatan : Ketika suatu limit dikatakan ada, ini harus dimengrti, bahwa artinya nilai limitnya itu ada secara terbatas (finitely).

Tipe-tipe Diskontinuitas
Tiga syarat kontinyuitas yang telah disebutkan sebelumnya mungkin tidak terpenuhi, hal ini akan menimbulkan diskontinyuitas. Pada umumnya diskontinyuitas ada tiga tipe/jenis.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas tak terbatas (infinite diskontinuity) pada x = a. Kalau f(x) menjadi tak terbatas baik secara positif maupun negative ketika x→a. Artinya f (a) tak terdefenisikan dan (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas terbatas (finite diskontinuity) pada x = a, kalau f(x) tetap terbatas tetapi berubah secara mendadak pada x = a. Artinya f(a) terdefenisikan akan tetapi (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas titik hilang (missing-point diskontinuity) pada x = a kalau f(a) tak terdefenisikan akan tetapi (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Teman-teman bisa download disini penjelasan yang lebih lengkap dengan tulisan yang lebih rapi tentunya. Terima kasih, semoga bermanfaat …

Teori Permainan

Hmmmm,,, bulan puasa gini enaknya nulis sesuatu yang nggak bikin ngantuk …
Nah, ini nih yang bakalan bikin teman-teman semua melek…
Kita akan mengulas dengan sejelas-jelasnya tentang teori permainan, bukan teori permainan monopoli atau teori permainan ular tangga lho, tapi teori permainan yang sering dilakukan dalam dunia bisnis dan ekonomi, kita mulai yuk !!!

Teori permainan merupakan suatu model matematika yang digunakan dalam situasi konflik atau persaingan antara berbagai kepentingan yang saling berhadapan sebagai pesaing. Teori ini dikembangkan untuk menganalisa proses pengambilan keputusan dari situasi persaingan yang berbeda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan. Dalam permaian peserta adalah pesaing. Keuntungan bagi yang satu merupakan kerugian bagi yang lain. Model-model permainan dapat dibedakan berdasarkan jumlah pemain, jumlah keuntungan atau kerugian, dan jumlah startegi yang digunakan dalam permainan. Bila jumlah pemain ada dua, permainan disebut sebagai permainan dua pemain. Bila keuntungan atau kerugian sama dengan nol, disebut permainan jumlah nol (zero sum game).
Ada beberapa unsur atau konsep dasar yang sangat penting dalam penyelesaian setiap kasus dengan teori permainan yaitu:

1. Jumlah Pemain
Dalam hal ini pengertian “ jumlah pemain” tidak selalu sama artinya dengan “jumlah Orang” yang terlibat dalam permainan. jumlah pemain disini berarti jumlah kelompok pemain berdasarkan masing-masing kepentingan atau tujuannya.

2. Ganjaran /Payoff
Ganjaran/payoff adalah hasil akhir yang terjadi pada akhir permainan berkenaan dengan ganjaran ini, permainan digolongkan menjadi 2 macam kategori, yaitu permainan jumlah-nol (zero-sum games) dan permainan jumlah-bukan-nol (non-zero-sum games). permainan jumlah-nol terjadi jika jumlah ganjaran dari seluruh pemain adalah nol, yaitu dengan memperhitungkan setiap keuntungan sebagai bilangan positif dan setiap kerugian sebagai bilangan negatif. selain dari itu adalah permainan jumlah –bukan-nol.
Dalam permainan jumlah-nol setiap kemenangan bagi suatu pihak pemain merupakan kekalahan bagi pihak pemain lain. letak arti penting dari perbedaan kedua kategori permainan berdasarkan ganjaran ini adalah bahwa permainan jumlah-nol adalah suatu sistem yang tertutup.

3. strategi permainan
Strategi permainan dalam teori permainan adalah suatu siasat atau rencana tertentu dari seorang pemain, sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain yang menjadi saingannya. permainan diklasifikasikan menurut jumlah strategi yang tersedia bagi masing-masing pemain. jika pemain pertama memiliki m kemungkinan strategi dan pemain kedua memiliki n kemungkinan strategi, maka permainan tersebut dinamakan permainan m x n. Perbedaan jenis permainan berdasarkan jumlah strategi ini adalah bahwa permainan dibedakan menjadi permainan berhingga dan permainan tak berhingga.

4. matriks permainan
matriks permainan disebut juga matriks ganjaran yaitu sebuah matriks yang semua unsur berupa ganjaran dari para pemain yang terlibat dalam permainan tersebut. baris-barisnya melambangkan strategi –strategi yang dimiliki pemain pertama, sedangkan kolom-kolomnya melambangkan strategi-strategi yang dimiliki pemain lain. dengan demikian, permainan berstrategi m x n dilambangkan dengan matriks permainan m x n .
Nilai dari suatu permainan adalah ganjaran rata-rata/ganjaran yang diharapkan dari sepanjang rangkaian permainan, dengan menganggap kedua pemain selalu berusaha memainkan strateginya yang optimum.

5. Titik pelana (Saddle Poin )
Titik pelana adalah suatu unsur didalam matriks permainan yang sekaligus sebagai maksimin baris dan minimaks kolom. permainan dikatakan bersaing ketat (Strictly determined) jika matriksnya memiliki titik pelana. strategi yang optimum bagi masing-masing pemain adalah strategi pada baris dan kolom yang mengandung titik pelana tersebut. dalam hal ini baris yang mengandung titik pelana merupakan strategi optimum bagi pemain pertama, sedangkan kolom yang mengandung titik pelana merupakan strategi optimum bagi pemain lain.

Selanjutnya akan dibahas tentang jenis permainan yaitu jenis permainan startegi murni (pure strategy game) dimana setiap pemain hanya menjalankan strategi tunggal dalam strategi optimalnya,dan permainan strategi campuran (mixed strategy game) dimana kedua pemain menjalankan strategi yang berbeda-beda.

Karena pembahasan tentang teori ini masih sangat panjang, teman-teman bisa langsung men-download file lengkapnya disini.

Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Assalamu ’alaikum….
Teman-teman semua pasti sudah pernah mendengar tentang persamaan kuadrat di SMP kan ?!. Jadi, sebelum membahas cara-cara untuk menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat,sebaiknya kalian ingat kembali bentuk umum persamaan kuadrat yaitu
ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, c ∈R dan a ≠ 0.
Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a adalah koefisien x2, b adalah koefisien x, dan c adalah suku tetapan (konstanta).

Berkaitan dengan nilai-nilai a, b, dan c, dikenal beberapa persamaan kuadrat, diantaranya adalah:
• Jika a = 1, maka persamaan menjadi x2 + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa.
• Jika b = 0, maka persaman menjadi x2 + c = 0 dan persaman seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna.
• Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax2 + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut peramaan kuadrat tak lengkap.
• Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional maka ax2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat rasional.

Ada beberapa cara yang dapat dilakukan untuk menetukan akar-akar persamaan kuadrat yaitu:
• Memfaktorkan (Pemfaktoran)
Cara memfaktorkan dapat dilakukan pada persamaan kuadrat yang bentuknya sederhana dan dapat difaktorkan sehingga berbentuk P x Q = 0.
• Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc).
Jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan, akar-akar persamaan kuadratnya dapat diperoleh dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
• Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.
• Menggambar grafik fungsi kuadrat.

Waduh, susah nih kalo mau ditulis semua disini, lebih baik download file lengkapnya !

Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Assalamu’alaikum …
Sebelumnya sudah dibahas cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat, bagaimana teman-teman sudah ngertikan ?, kalo belum, download disini aja …
Nah, sekarang akan dijelaskan cara menyusun persamaan kuadrat apabila akar-akar suatu persamaan kuadratnya yang diketahui. Ada 2 cara yang bisa digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru yaitu: menggunakan faktor dan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.

1. Menggunakan Faktor
Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi
(x – x1)(x – x2) =0, maka x1 dan x2 merupakan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya, apabila x1 dan x2 merupakan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus:
(x – x1) (x – x2) = 0

2. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (jika kedua ruas dibagi dengan a, maka dapat dinyatakan dalam bentuk x2 + b/a x + c/a= 0)
Dari rumus jumlah dan hasil kali akar-akar kita peroleh hubungan:
x1 +x2 = -b/a , atau b/a = -(x1+x2); dan
x1-x2 = c/a , atau c/a = x1.x2
Jadi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan dalam bentuk:
x2 –(x1+x2)x + (x1.x2) = 0

duh… tulisannya berantakan nih…
soalnya gak ada fasilitas tuk nulis “equation”-nya, tulisan yang lebih lengkap dan rapi silahkan download disini …