Sekarang saya akan mengulas tentang Limit , mumpung masih segar diingatan. Teman-teman semua pasti sering mendengar kata “unlimited” yang artinya “tanpa batas” kan ?!, Nah kalo Limit adalah lawan dari “unlimited ” tadi yang berarti “batas”. Untuk penjelasan secara matematisnya silahkan baca halaman ini …
Definisi limit dinyatakan sebagai berikut: untuk suatu fungsi f(x) diandaikan sebuah peubah bebas x diasumsikan mempunyai nilai tertentu yang mendekati a, maka fungsi f(x) dapat dianggap berhubungan dengan suatu himpunan nilai. Seandainya pada saat x mendekati a, nilai yang sesuai bagi f(x) mendekati suatu konstanta A, dan seandainya pula bahwa nilai f(x) dapat dijadikan berbeda sedikit secara arbiter dari A dengan mengambil nilai x yang mendekati a, tetapi tidak sama dengan a, maka hal ini benar untuk semua nilai x. dan artinya f(x) dikatakan sebagai suatu konsep pendekatan dari a atau limit a jika x mendekati a.
Secara singkat definisi limit dari suatu peubah atau limit dari suatu fungsi adalah: Suatu peubah x dikatakan mendekati bilangan konstanta merupakan limit, apabila x berubah-ubah sedemikian rupa sehingga selisih absolute (x - a), terjadi dan tetap lebih kecil daripada jumlah positif yang ditentukan lebih dahulu, tetapi nilai yang lebih kecil akan dipilih, hal ini ditunjukkan oleh limit x dimana x mendekati a
Ada beberapa operasi Limit yaitu :
1. Limit Penjumlahan dan pengurangan
2. Limit Perkalian
3. Limit Perkalian Konstanta dengan Fungsi
4. Limit Fungsi yang Dipangkatkan
5. Limit Fungsi yang Berada dalam Tanda Akar
Jenis Limit :
Limit Fungsi Pecah
Untuk mencari solusi dari limit fungsi pecah, pada prinsipnya adalah sama dengan menentukan nilai pada limit fungsi biasa, yaitu melakukan substitusi harga x terhadap variabel x yang ada pada fungsi pecahnya. Jika setelah disubstitusi ternyata hasilnya riil (nyata), maka nilai tersebut adalah merupakan hasil akhirnya, namun demikian apabila setelah disubstitusikan hasilnya terjadi pembagian dengan proses penyelesaian pada limit fungsi lainnya. Hal ini lebih disebabkan karena adanya ketentuan yang tidak membolehkan terjadinya pembagian dengan nol.
Untuk mendapatkan penyelesaian akhir atau cara menyelesaikan model limit fungsi (setelah dilakukan substitusi harga x terhadap fungsinya dan terjadi pembagian dengan nol), perhatikan fungsi pembilang dan penyebutnya, tentukan derivatif (turunan) dan fungsi pembilang dan penyebutnya terhadap x, kemudian substitusikan harga x yang didekati terhadap fungsi-fungsi derivatif dari pembilang dan penyebutnya, apabila harga x yang didekati setelah disubstitusikan terhadap fungsi derivatif pembilang dan penyebutnya masih juga terjadi pembagian dengan nol, maka hasilnya adalah merupakan harga yang infinite (sebagai hasil akhir).
Contoh:
(_x→1^(lim)((〖3x〗^2+4x-8))/((5x-5))=((〖3(1)〗^2+4(1)-8))/((5(1)+3))=-1/0 (infinite)
Oleh karena setelah dilakukan substitusi terhadap harga x yang didekati terjadi pembagian dengan nol, maka langkah berikutnya adalah menentukan derivatif dari fungsi pembilang dan fungsi penyebutnya, sebagai berikut:
(_x→1^(lim)) ((〖3x〗^2+4x-8))/((5x-5))=(_x→1^(lim))((6x+4))/((5))=((6(1)+4))/5=10/2=5
Limit Tak Hingga (Limit Infinite)
Suatu limit dikatakan limit tak hingga (limit infinite) jika di depan tanda limitnya mmerupakan fungsi pecah dan x didekati oleh bilangan tak terhingga.
Untuk menyelesaikan model limit infinite ini, perhatikan pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi pembilang dan pangkat (derajat) dari fungsi penyebutnya, kemudian bagilah dengan pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi penyebutnya. Ada berbagai model dari limit fungsi infinite seperti:
Pangkat fungsi pembilang sama dengan (=) pangkat fungsi penyebut
Jika pangkat (derajat) dari fungsi pembilang sama dengan pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka penyelesaian dari limit fungsi tersebut adalah merupakan hasil bagi antara koefisien pangkat tertinggi dari fungsi pembilang dan pangkat tertinggi fungsi penyebutnya, adapun langkah penyelesaian kasus tersebut, seperti pada contoh di bawah ini.
(_x→∞^lim ) ((〖16x〗^2+4))/((〖15x〗^2-10x) )=16/15
Keterangan:
Pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat teringgi penyebutnya, yaitu = 2, maka solusinya adalah hasil bagi koefisien dari pembilang dan penyebut yang mempunyai pangkat tertinggi (16/15=1 1/15).
Pangkat fungsi pembilang lebih besar (>) pangkat fungsi penyebut
Jika pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka penyelesaian dari limit fungsi tersebut bernilai infinite seperti pada contoh di bawah ini:
(_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^3+〖4x〗^2-3x))/((〖15x〗^2-10x) )
Untuk menentukan solusi dari limit fungsi pecah secara langsung, dapat dilakukan seperti berikut:
(_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^4+4))/((〖15x〗^2-10) )=∞
Pangkat tertinggi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya (pembilang berpangkat tertinggi 4 sedangkan penyebut berpangkat tertinggi 2), maka solusinya adalah merupakan nilai ~ (tak terhingga)
pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka solusi dari limit tersebut bernilai 0 (nol) seperti pada contoh berikut ini. (_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^4+4))/((〖15x〗^6-10) )=0
Keterangan: Pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebutnya (pembilang berpangkat tertinggi 4 sedangkan penyebut berpangkat tertinggi 6), maka solusinya adalah merupakan nilai 0 (nol)
Kontinuitas
Suatu fungsi disebut kontinyu apabila grafiknya terdiri dari kurva yang tidak terputus-putus; defenisi secara matematis mengenai kontinyuitas menyangkut ciri atau sifat yang dimiliki dari limit. Tipe atau jenis kontinuitas akan dibahas kemudian akan diberikan sifat-sifat atau aturan-aturan untuk mengetahui fungsi yang kontinyu. Di dalam defenisi (_x→a^(lim))f(x), nilai (f(x) untuk x = a tak terspesifikasikan, artinya limit ini hanya tergantung pada nilai f(x) dimana x disekitar atau dekat sekali dengan a akan tetapi bukan pada nilai f(x) di mana x = a. Jadi (_x→a^(lim))f(x) mungkin sama atau mungkin tidak sama dengan f(a). Kalau (_x→a^(lim))f(x) ada dan nilai f (a) juga ada dan ternyata sama nilainya, maka kemudian f (x) dikatakan kontinyu pada x = a. suatu fungsi f (x) dikatakan kontinyu pada x = a, kalau memenuhi syarat berikut. f (a) terdefenisi (_x→a^(lim))f(x) ada nilainya (_x→a^(lim))f(x)=f(a) Catatan : Ketika suatu limit dikatakan ada, ini harus dimengrti, bahwa artinya nilai limitnya itu ada secara terbatas (finitely).
Tipe-tipe Diskontinuitas
Tiga syarat kontinyuitas yang telah disebutkan sebelumnya mungkin tidak terpenuhi, hal ini akan menimbulkan diskontinyuitas. Pada umumnya diskontinyuitas ada tiga tipe/jenis.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas tak terbatas (infinite diskontinuity) pada x = a. Kalau f(x) menjadi tak terbatas baik secara positif maupun negative ketika x→a. Artinya f (a) tak terdefenisikan dan (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas terbatas (finite diskontinuity) pada x = a, kalau f(x) tetap terbatas tetapi berubah secara mendadak pada x = a. Artinya f(a) terdefenisikan akan tetapi (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas titik hilang (missing-point diskontinuity) pada x = a kalau f(a) tak terdefenisikan akan tetapi (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Teman-teman bisa download disini penjelasan yang lebih lengkap dengan tulisan yang lebih rapi tentunya. Terima kasih, semoga bermanfaat …
Definisi limit dinyatakan sebagai berikut: untuk suatu fungsi f(x) diandaikan sebuah peubah bebas x diasumsikan mempunyai nilai tertentu yang mendekati a, maka fungsi f(x) dapat dianggap berhubungan dengan suatu himpunan nilai. Seandainya pada saat x mendekati a, nilai yang sesuai bagi f(x) mendekati suatu konstanta A, dan seandainya pula bahwa nilai f(x) dapat dijadikan berbeda sedikit secara arbiter dari A dengan mengambil nilai x yang mendekati a, tetapi tidak sama dengan a, maka hal ini benar untuk semua nilai x. dan artinya f(x) dikatakan sebagai suatu konsep pendekatan dari a atau limit a jika x mendekati a.
Secara singkat definisi limit dari suatu peubah atau limit dari suatu fungsi adalah: Suatu peubah x dikatakan mendekati bilangan konstanta merupakan limit, apabila x berubah-ubah sedemikian rupa sehingga selisih absolute (x - a), terjadi dan tetap lebih kecil daripada jumlah positif yang ditentukan lebih dahulu, tetapi nilai yang lebih kecil akan dipilih, hal ini ditunjukkan oleh limit x dimana x mendekati a
Ada beberapa operasi Limit yaitu :
1. Limit Penjumlahan dan pengurangan
2. Limit Perkalian
3. Limit Perkalian Konstanta dengan Fungsi
4. Limit Fungsi yang Dipangkatkan
5. Limit Fungsi yang Berada dalam Tanda Akar
Jenis Limit :
Limit Fungsi Pecah
Untuk mencari solusi dari limit fungsi pecah, pada prinsipnya adalah sama dengan menentukan nilai pada limit fungsi biasa, yaitu melakukan substitusi harga x terhadap variabel x yang ada pada fungsi pecahnya. Jika setelah disubstitusi ternyata hasilnya riil (nyata), maka nilai tersebut adalah merupakan hasil akhirnya, namun demikian apabila setelah disubstitusikan hasilnya terjadi pembagian dengan proses penyelesaian pada limit fungsi lainnya. Hal ini lebih disebabkan karena adanya ketentuan yang tidak membolehkan terjadinya pembagian dengan nol.
Untuk mendapatkan penyelesaian akhir atau cara menyelesaikan model limit fungsi (setelah dilakukan substitusi harga x terhadap fungsinya dan terjadi pembagian dengan nol), perhatikan fungsi pembilang dan penyebutnya, tentukan derivatif (turunan) dan fungsi pembilang dan penyebutnya terhadap x, kemudian substitusikan harga x yang didekati terhadap fungsi-fungsi derivatif dari pembilang dan penyebutnya, apabila harga x yang didekati setelah disubstitusikan terhadap fungsi derivatif pembilang dan penyebutnya masih juga terjadi pembagian dengan nol, maka hasilnya adalah merupakan harga yang infinite (sebagai hasil akhir).
Contoh:
(_x→1^(lim)((〖3x〗^2+4x-8))/((5x-5))=((〖3(1)〗^2+4(1)-8))/((5(1)+3))=-1/0 (infinite)
Oleh karena setelah dilakukan substitusi terhadap harga x yang didekati terjadi pembagian dengan nol, maka langkah berikutnya adalah menentukan derivatif dari fungsi pembilang dan fungsi penyebutnya, sebagai berikut:
(_x→1^(lim)) ((〖3x〗^2+4x-8))/((5x-5))=(_x→1^(lim))((6x+4))/((5))=((6(1)+4))/5=10/2=5
Limit Tak Hingga (Limit Infinite)
Suatu limit dikatakan limit tak hingga (limit infinite) jika di depan tanda limitnya mmerupakan fungsi pecah dan x didekati oleh bilangan tak terhingga.
Untuk menyelesaikan model limit infinite ini, perhatikan pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi pembilang dan pangkat (derajat) dari fungsi penyebutnya, kemudian bagilah dengan pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi penyebutnya. Ada berbagai model dari limit fungsi infinite seperti:
Pangkat fungsi pembilang sama dengan (=) pangkat fungsi penyebut
Jika pangkat (derajat) dari fungsi pembilang sama dengan pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka penyelesaian dari limit fungsi tersebut adalah merupakan hasil bagi antara koefisien pangkat tertinggi dari fungsi pembilang dan pangkat tertinggi fungsi penyebutnya, adapun langkah penyelesaian kasus tersebut, seperti pada contoh di bawah ini.
(_x→∞^lim ) ((〖16x〗^2+4))/((〖15x〗^2-10x) )=16/15
Keterangan:
Pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat teringgi penyebutnya, yaitu = 2, maka solusinya adalah hasil bagi koefisien dari pembilang dan penyebut yang mempunyai pangkat tertinggi (16/15=1 1/15).
Pangkat fungsi pembilang lebih besar (>) pangkat fungsi penyebut
Jika pangkat (derajat) tertinggi dari fungsi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka penyelesaian dari limit fungsi tersebut bernilai infinite seperti pada contoh di bawah ini:
(_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^3+〖4x〗^2-3x))/((〖15x〗^2-10x) )
Untuk menentukan solusi dari limit fungsi pecah secara langsung, dapat dilakukan seperti berikut:
(_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^4+4))/((〖15x〗^2-10) )=∞
Pangkat tertinggi pembilang lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya (pembilang berpangkat tertinggi 4 sedangkan penyebut berpangkat tertinggi 2), maka solusinya adalah merupakan nilai ~ (tak terhingga)
pangkat tertinggi dari fungsi penyebutnya, maka solusi dari limit tersebut bernilai 0 (nol) seperti pada contoh berikut ini. (_x→∞^(lim)) ((〖16x〗^4+4))/((〖15x〗^6-10) )=0
Keterangan: Pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebutnya (pembilang berpangkat tertinggi 4 sedangkan penyebut berpangkat tertinggi 6), maka solusinya adalah merupakan nilai 0 (nol)
Kontinuitas
Suatu fungsi disebut kontinyu apabila grafiknya terdiri dari kurva yang tidak terputus-putus; defenisi secara matematis mengenai kontinyuitas menyangkut ciri atau sifat yang dimiliki dari limit. Tipe atau jenis kontinuitas akan dibahas kemudian akan diberikan sifat-sifat atau aturan-aturan untuk mengetahui fungsi yang kontinyu. Di dalam defenisi (_x→a^(lim))f(x), nilai (f(x) untuk x = a tak terspesifikasikan, artinya limit ini hanya tergantung pada nilai f(x) dimana x disekitar atau dekat sekali dengan a akan tetapi bukan pada nilai f(x) di mana x = a. Jadi (_x→a^(lim))f(x) mungkin sama atau mungkin tidak sama dengan f(a). Kalau (_x→a^(lim))f(x) ada dan nilai f (a) juga ada dan ternyata sama nilainya, maka kemudian f (x) dikatakan kontinyu pada x = a. suatu fungsi f (x) dikatakan kontinyu pada x = a, kalau memenuhi syarat berikut. f (a) terdefenisi (_x→a^(lim))f(x) ada nilainya (_x→a^(lim))f(x)=f(a) Catatan : Ketika suatu limit dikatakan ada, ini harus dimengrti, bahwa artinya nilai limitnya itu ada secara terbatas (finitely).
Tipe-tipe Diskontinuitas
Tiga syarat kontinyuitas yang telah disebutkan sebelumnya mungkin tidak terpenuhi, hal ini akan menimbulkan diskontinyuitas. Pada umumnya diskontinyuitas ada tiga tipe/jenis.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas tak terbatas (infinite diskontinuity) pada x = a. Kalau f(x) menjadi tak terbatas baik secara positif maupun negative ketika x→a. Artinya f (a) tak terdefenisikan dan (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas terbatas (finite diskontinuity) pada x = a, kalau f(x) tetap terbatas tetapi berubah secara mendadak pada x = a. Artinya f(a) terdefenisikan akan tetapi (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai suatu diskontinuitas titik hilang (missing-point diskontinuity) pada x = a kalau f(a) tak terdefenisikan akan tetapi (_x→a^(lim))f(x) tak ada.
Teman-teman bisa download disini penjelasan yang lebih lengkap dengan tulisan yang lebih rapi tentunya. Terima kasih, semoga bermanfaat …
